Οι διαφορετικές όψεις της (κβαντικής) πραγματικότητας

Ιωάννης Π. Ζώης*

Φέτος κλείνουν 100 χρόνια από το παγκόσμιο συνέδριο των Βρυξελλών (1st Solvay Conference 1911) στο οποίο συζητήθηκε ο χειρισμός της κβαντομηχανικής, αναμφίβολα της πιο αντιδιαισθητικής φυσικής θεωρίας που γνωρίζουμε. Το θέμα αυτό είναι μαζί μας μέχρι σήμερα: Κβαντικά σωμάτια (όπως τα άτομα αλλά και τα υποατομικά σωμάτια) έχουν την αλλόκοτη ικανότητα να εμφανίζονται ταυτόχρονα σε διαφορετικά μέρη, να έχουν την ίδια στιγμή ιδιοστροφορμή (spin) δεξιόστροφη και αριστερόστροφη ή ακαριαία να αλληλοεπηρεάζονται αν και μπορεί να απέχουν χωρικά απόσταση ίση με το μισό σύμπαν! Το τελευταίο αυτό χαρακτηριστικό είναι το περίφημο «κβαντικό μπλέξιμο» (quantum entanglement) που ο Einstein χαρακτήρισε «μυστηριώδη δράση εξ αποστάσεως» και χρησιμοποιείται κυρίως στους κβαντικούς υπολογιστές, στην κβαντική πληροφορική, την κβαντική κρυπτογραφία κλπ.

 Όταν το κβαντικό μπλέξιμο εμφανίστηκε στις εξισώσεις της κβαντικής θεωρίας, ο Βρετανός (Ιρλανδός) φυσικός John Bell σκέφτηκε ιδεατά πειράματα για να αποδείξει πως δεν συμβαίνει. Όταν όμως τα πειράματα πραγματοποιήθηκαν μερικά χρόνια αργότερα, αποδείχθηκε ότι ο Bell είχε κάνει λάθος (βλέπε περισσότερες διευκρινήσεις παρακάτω)! Το βασικό ερώτημα λοιπόν, όπως το θέτει ο Harvey Brown, καθηγητής της φιλοσοφίας της επιστήμης στην Οξφόρδη, είναι το εξής: «Αφού ως άνθρωποι αποτελούμαστε από άτομα γιατί δεν μπορούμε να κάνουμε τίποτε από τα παραπάνω? Σε ποια (μακροσκοπική) κλίμακα η κβαντομηχανική παύει να ισχύει? »

(Η ιστορική φωτογραφία αναπαριστά μερικούς από τους συμμετέχοντες στο 1st Solvay Conference, Brussels, 1911: Καθιστοί (Α-Δ) W. Nernst, M. Brillouin, E. Solvay, H. Lorentz, E. Warburg, J. Perrin, W. Wien, M. Curie, και H. Poincaré.  Όρθιοι (Α-Δ): R. Goldschmidt,  M. Planck, H. Rubens, A. Sommerfeld, F. Lindemann, M. de Broglie,  M. Knudsen, F. Hasenöhrl, G. Hostelet, E. Herzen, J.H. Jeans, E. Rutherford, H. Kamerlingh Onnes, A. Einstein και P. Langevin)

Πειστικές απαντήσεις στα παραπάνω δεν έχουν δοθεί ακόμη (αν και μια ενδιαφέρουσα άποψη διατυπώθηκε από τον Penrose το 2005 που υποστηρίζει ότι η κβαντική βαρύτητα είναι υπεύθυνη που δεν παρατηρούνται κβαντικά φαινόμενα μακροσκοπικά) αλλά καταφέραμε να εκμεταλλευθούμε την άγνοιά μας, ειδικότερα την ιδιότητα του κβαντικού μπλεξίματος, στις αναδυόμενες επιστήμες των κβαντικών υπολογιστών, της κβαντικής πληροφορικής και της κβαντικής κρυπτογραφίας. Οι νέες αυτές επιστήμες έχουν ήδη προκαλέσει μεγάλο ενδιαφέρον εταιρειών (πχ Microsoft, station Q) αλλά και κυβερνήσεων. Ταυτόχρονα η άγνοιά μας αυτή δίδει νέα όπλα στην αναζήτηση ενοποιημένων θεωριών και κβαντικών κοσμολογικών μοντέλων. Καθόλου άσχημα για μια θεωρία για την οποία ο μεγάλος Einstein χαρακτήρισε ως «μαλακό μαξιλαράκι που νανουρίζει τους καλούς φυσικούς».

Όμως «δυστυχώς» για την Einstein η κβαντομηχανική έχει πρακτικά αποδειχθεί αριστούργημα: Δεν έχει παρατηρηθεί μέχρι στιγμής κανένα πειραματικό δεδομένο που να μην συμφωνεί με τις προβλέψεις της, συνεπώς αυτό που πρέπει να ανακαλύψουμε είναι «τι σημαίνει η κβαντομηχανική».

Οι φυσικοί προσπαθούν να απαντήσουν αυτό το ερώτημα με τις λεγόμενες ερμηνείες της κβαντομηχανικής, δηλαδή φιλοσοφικές εικασίες πλήρως συμβατές με τα πειραματικά δεδομένα σχετικά με το τι υπάρχει πίσω από την κβαντική θεωρία.

Υπάρχουν πολλές ερμηνείες της κβαντικής θεωρίας. Σημειώνουμε ότι σε καμία άλλη φυσική θεωρία δεν συμβαίνει κάτι ανάλογο. Θα περιγράψουμε τις 10 πιο βασικές, υπάρχουν αρκετές περισσότερες:

1.  H ερμηνεία της σχολής της Κοπεγχάγης του Δανού φυσικού Niles Bohr και του Γερμανού Werner Heisenberg (1927). Η ερμηνεία αυτή είναι η πιο γνωστή και διαδεδομένη και υπάρχει στα περισσότερα (αν όχι όλα) τα προπτυχιακά συγγράμματα ανά τον κόσμο. Υποδηλώνει ότι κάθε προσπάθεια για να μιλήσουμε λόγου χάρη για την θέση ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο, δεν έχει νόημα χωρίς να κάνουμε μια μέτρηση. Μόνο όταν αλληλεπιδράσουμε με κάποιο ηλεκτρόνιο προσπαθώντας να το παρατηρήσουμε με μια μη-κβαντική ή κλασική συσκευή (εκτός του κβαντικού συστήματος που θέλουμε να παρατηρήσουμε) το ηλεκτρόνιο αυτό αποκτά ένα χαρακτηριστικό που θα το καλούσαμε φυσική ιδιότητα και άρα καθίσταται μέρος της φυσικής πραγματικότητας. Η ερμηνεία αυτή περιπαικτικά λέγεται στην «αργκό» της φυσικής ερμηνεία του «σκάσε και υπολόγιζε (shut up and calculate)» διότι αποτελεί έναν αλγόριθμο υπολογισμών και αφήνει στην άκρη βαθύτερες φιλοσοφικές ανησυχίες. Ίσως η πιο σημαντική κριτική αυτής της ερμηνείας προέρχεται από την κοσμολογία και περίπου διατυπώνεται ως εξής: Αφού η διαδικασία της μέτρησης δημιουργεί την φυσική πραγματικότητα, για να δημιουργηθεί η πραγματικότητα του σύμπαντος θα πρέπει κάποιος εκτός του σύμπαντος να κάνει μια μέτρηση. Αλλά τι υπάρχει εκτός του σύμπαντος? Η απάντηση είναι ότι δεν έχουμε θεωρία κβαντικής βαρύτητας οπότε ως γνωστόν υπάρχει πρόβλημα συμβατότητας μεταξύ γενικής θεωρίας σχετικότητας και κβαντομηχανικής και το θέμα αυτό αποτελεί μέρος του γενικότερου προβλήματος. Σας ικανοποιεί αυτή η απάντηση?

2.  Η ερμηνεία των πολλών κόσμων (Hugh Everett, Πρίνστον 1957 αλλά και διάφορες παραλλαγές και μετεξελίξεις). Αυτή καλύτερα εξηγείται μαθηματικά ως εξής (υπεραπλουστεύουμε και αποφεύγουμε να αναφέρουμε όλες τις τεχνικές λεπτομέρειες): Κβαντικά η μαθηματική ποσότητα που μας ενδιαφέρει δεν είναι η θέση και η ταχύτητα αλλά η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου της οποίας το τετράγωνο του μέτρου δίδει μια πυκνότητα πιθανότητας. Η κυματοσυνάρτηση είναι σαν ένα γενικευμένο «διάνυσμα» αλλά με (πιθανώς) άπειρες (διακριτές) συνιστώσες (οι κυματοσυναρτήσεις ανήκουν σε έναν μιγαδικό διαχωρίσιμο χώρο Hilbert, βασικά ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος απείρων διαστάσεων με εσωτερικό γινόμενο). Τα φυσικά μεγέθη αντιστοιχούν σε γραμμικούς (Ερμιτιανούς) τελεστές (σκεφτείτε τους σαν πίνακες άπειρο επί άπειρο, κλασικά τα φυσικά μεγέθη αναπαρίστανται με συναρτήσεις ή ακριβέστερα μέσω διατομών νηματικών δεσμών). Οι ιδιοτιμές τους (πραγματικές) αντιπροσωπεύουν τα πιθανά αποτελέσματα των μετρήσεων του εν λόγω φυσικού μεγέθους και τα ιδιοδιανύσματα αποτελούν βάση του χώρου Χίλμπερτ (όλες αυτές οι έννοιες αποτελούν γενικεύσεις των αντίστοιχων εννοιών στη γνωστή διαδικασία διαγωνιοποίησης πινάκων). Αν για παράδειγμα θελήσουμε να μετρήσουμε την ενέργεια ενός σωματίου γνωρίζοντας την κυματοσυνάρτησή του, επιλέγουμε ως βάση του χώρου Χίλμπερτ τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή της ενέργειας (Χαμιλτονιανή), αναπτύσσουμε την κυματοσυνάρτηση στην βάση αυτή οπότε η κάθε συντεταγμένη στο τετράγωνο δίδει την πιθανότητα σε μια μέτρηση να πάρουμε την ιδιοτιμή του αντίστοιχου ιδιοδιανύσματος βάσης (κυματοσυναρτήσεις κανονικοποιημένες).  Η ερμηνεία των πολλών κόσμων σε γενικές γραμμές λέγει πως υπάρχουν άπειρα σύμπαντα, άπειροι κόσμοι, ένα για κάθε στοιχείο της βάσης του χώρου Χίλμπερτ (ιδιοδιάνυσμα-συνιστώσα της κυματοσυνάρτησης), συνεπώς όλα τα ενδεχόμενα μιας μέτρησης είναι υπαρκτά και συμβαίνουν σε κάποιο σύμπαν (αλλά εμείς στο δικό μας παρατηρούμε μόνο μια, αυτή που μετρήσαμε). Περίεργο ε? Πολλοί δυσκολεύονται να δεχθούν πως υπάρχουν άπειρα αντίγραφα του εαυτού τους σε σύμπαντα που πιθανώς δεν επικοινωνούν. Αφού τα σύμπαντα δεν επικοινωνούν μεταξύ τους, η πιθανή ύπαρξή τους πρακτικά δεν έχει και μεγάλη σημασία αλλά εννοιολογικά είναι κάτι τελείως διαφορετικό. Η ερμηνεία αυτή γνωρίζει άνθιση στις μέρες μας αλλά θεωρητικά δεν απαντά γιατί τα ενδεχόμενα αποτελέσματα μιας μέτρησης δεν είναι ισοπίθανα. Έχει όμως το πλεονέκτημα ότι η φυσική πραγματικότητα δεν καθορίζεται από την διαδικασία της μέτρησης. Οι θιασώτες αυτής της ερμηνείας έρχονται κυρίως από τον χώρο των κβαντικών υπολογιστών / κβαντική πληροφορική (David Deutsch της Οξφόρδης, ο πατέρας των κβαντικών υπολογιστών) αλλά και από το χώρο της κοσμολογίας (πολυσύμπαντα, multiverses αν και εδώ απαιτείται προσοχή, διότι στα πολυσύμπαντα μιλάμε για διαφορετικές βράνες στον χώρο 11 διαστάσεων της M-Θεωρίας).

3. Η ερμηνεία των de Brοglie-Bohm (πιο πρόσφατη εκδοχή του Bohm 1952), ή ερμηνεία των κρυμμένων μεταβλητών (ακριβέστερα η ερμηνεία de Broglie-Bohm είναι μια ερμηνεία, η πιο βασική, κρυμμένων μεταβλητών). Αυτή υποστηρίζει ότι η κβαντομηχανική είναι ελλιπής  θεωρία και υπάρχουν κρυμμένες μεταβλητές που μεταφέρουν τις πληροφορίες που μας λείπουν. Δηλαδή εάν γνωρίζαμε αυτές τις κρυμμένες μεταβλητές, η κβαντική θεωρία θα ήταν πλήρως ντετερμινιστική όπως και η κλασική φυσική. Με λίγο περισσότερα μαθηματικά η θεωρία χρησιμοποιεί, πέραν της εξίσωσης Schrodinger για την χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης, και μια επιπρόσθετη οδηγό εξίσωση για την εξέλιξη των διαμορφώσεων (configurations). Το 1964 ο Βρετανός John Bell (που τον συναντήσαμε και παραπάνω) απέδειξε ότι εάν υπάρχουν τοπικές κρυμμένες μεταβλητές, θα πρέπει να ικανοποιούνται οι περίφημες ανισότητες Bell. Στην δεκαετία το 1980 τα πειράματα του Alain Aspect στο Παρίσι κατέδειξαν πως κάτι τέτοιο δεν ισχύει, δηλαδή τα πειράματα παραβίασαν τις ανισότητες Bell (την CHSH εκδοχή των ανισοτήτων Bell) και άρα δεν υπάρχουν (τοπικές) κρυμμένες μεταβλητές. (Μπορεί όμως να υπάρχουν μη-τοπικές κρυμμένες μεταβλητές, μια πιθανή ερμηνεία για το κβαντικό μπλέξιμο και εδώ μπαίνει στο παιγνίδι η λεγόμενη αρχή ολογραφίας και οι τοπολογικές κβαντικές θεωρίες). Αξίζει να αναφερθεί επίσης πως το 2008 ο Anthony Valentini από το Imperial College του Λονδίνου ισχυρίστηκε ότι η ερμηνεία των κρυμμένων μεταβλητών δίδει μια πιο ακριβή συμφωνία των πειραματικών δεδομένων της κοσμικής μικροκυματικής ακτινοβολίας υποβάθρου στην κοσμολογία.

4. Η λεγόμενη διαδραστική (transactional) ερμηνεία σύμφωνα με την οποία οι κβαντικές πηγές προκαλούν κύματα (πιθανότητας) που κινούνται κατά το βέλος του χρόνου αλλά και αντίθετα από αυτό (πίσω στο χρόνο). Το καθεστώς της είναι αβέβαιο, κάποιοι λίγοι (πχ Cramer 1986), υποστηρίζουν ότι τα αποτελέσματα του πειράματος Afshar (Βοστώνη 2001 και Χάρβαρντ 2003, παραλλαγή πειράματος δύο σχισμών του Young) υποστηρίζει την ερμηνεία αυτή και προκαλεί τις ερμηνείες Κοπεγχάγης και πολλών κόσμων.

5. H ερμηνεία του αθροίσματος ιστοριών, προκύπτει ουσιαστικά από την περίπου ισοδύναμη διατύπωση της κβαντομηχανικής με την χρήση τροχιακών ολοκληρωμάτων του Feynman (αντί τελεστών). Σύμφωνα με αυτή τα κβαντικά συστήματα ακολουθούν όλες τις πιθανές τροχιές με διαφορετικό στατιστικό βάρος η καθεμιά και αυτό που παρατηρούμε είναι ο μέσος όρος. Αυτή η ερμηνεία δεν χρησιμοποιείται πολύ στην απλή κβαντομηχανική (αλλά αποτελεί την βάση του Λαγκρανζιανού φορμαλισμού στην κβαντική θεωρία πεδίων, εξέλιξη της κβαντομηχανικής).

6. Η ερμηνεία των κβαντικών συλλογών ή στατιστική ερμηνεία (quantum ensembles, Born 1926). Σύμφωνα με αυτή η κβαντομηχανική δεν μπορεί να πει τίποτε για μεμονωμένα σωμάτια αλλά μόνο για μεγάλες συλλογές σωματιδίων. Η κυματοσυνάρτηση περιγράφει συλλογές σωματίων και όχι μεμονωμένα σωμάτια. Αυτή υιοθετείται από κάποιους στην στατιστική φυσική αλλά σήμερα έχει περιορισμένο «κοινό».  Είναι η ερμηνεία που μάλλον προτιμούσε ο Einstein.

7. H ερμηνεία των Ghirardi-Rimini-Weber (1985)  βασικό χαρακτηριστικό της οποίας είναι το γεγονός ότι τα σωμάτια  σε ασταθείς καταστάσεις στιγμιαία πέφτουν σε σταθερές καταστάσεις με συγκεκριμένο ρυθμό. Η ερμηνεία υποστηρίζει ότι μεμονωμένα σωμάτια υφίστανται στιγμιαίες καταρρεύσεις με ρυθμό μια κάθε 10^8 χρόνια. Αμφίβολη ερμηνεία, χωρίς σίγουρη πειραματική επιβεβαίωση.

8.  H ερμηνεία του Roger Penrose (Οξφόρδη 1989) σύμφωνα με την οποία στην κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης που επισυμβαίνει κατά την διαδικασία της μέτρησης, παίζει σημαντικό ρόλο η βαρύτητα. Κβαντικά φαινόμενα δεν συμβαίνουν στον μακρόκοσμο λόγω της μεγάλης μάζας των μακροσκοπικών σωμάτων (άρα εξ αιτίας του ισχυρού πεδίου βαρύτητας που αυτά τα ίδια δημιουργούν). Ο όρος κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης σημαίνει την μη συνεχή διαδικασία σύμφωνα με την οποία από μια απειρία πιθανών αποτελεσμάτων παίρνουμε μόνο μια τιμή, την μετρούμενη. Μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι η κυματοσυνάρτηση που εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της βάσης «προβάλλεται» σε μια μόνο συνιστώσα, το ιδιοδιάνυσμα  της ιδιοτιμής που μετρήσαμε. Συνεπώς η θεωρία της κβαντικής βαρύτητας (όταν την βρούμε) θα απαντά και στο φαινόμενο της κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης. Ενδιαφέρουσα ερμηνεία που εξετάζεται πειραματικά σε συνδυασμό με θεωρίες κβαντικής βαρύτητας.  (Οι 7 και 8 ανήκουν στις λεγόμενες θεωρίες αντικειμενικής κατάρρευσης –objective collapse theories- και ίσως αποτελούν περισσότερο θεωρίες παρά ερμηνείες).

9. Η ερμηνεία των Von Neumann-Wigner (1932) σύμφωνα με την οποία η συνείδηση οδηγεί σε πειραματικά αποτελέσματα, δηλαδή η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης προκαλείται από την συνείδηση του πειραματιστή. Οι περισσότεροι φυσικοί την θεωρούν προκλητική (αλλά πολλοί ψυχολόγοι την βρίσκουν ελκυστική!)

10. Η λεγόμενη εγκλιτική (modal) ερμηνεία (1972 Fraassen) σύμφωνα με την οποία τα κβαντικά συστήματα ταυτόχρονα διαθέτουν ένα σύνολο καλά και όχι καλά ορισμένων φυσικών ιδιοτήτων. Η ερμηνεία αυτή έχει επισφαλές στάτους μεταξύ των φυσικών.

Άλλες ερμηνείες είναι αυτή της κβαντικής λογικής (Birkhoff 1936, που ενσωματώνει την αρχή συμπληρωματικότητας--τον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό, αρχή απροσδιοριστίας-- στην λογική Boole, ισοδύναμα μπορεί κανείς να την δει ως παραλλαγή της προτασιακής λογικής ή ακόμη και ως μια μη μεταθετική και μη προσεταιριστική πλειονότιμη λογική), η στοχαστική ερμηνεία (Nelson 1966, που υποδηλώνει μετρικές και τοπολογικές διακυμάνσεις του χωρόχρονου σε πολύ μικρές κλίμακες), η ερμηνεία των πολλών εγκεφάλων (Zeh 1970 Χαϊδελβέργη, παραλλαγή της ερμηνείας των πολλών κόσμων), η ερμηνεία των συνεπών ιστοριών (Griffiths 1984, γενίκευση Κοπεγχάγης για να ενσωματώσει κβαντική κοσμολογία), η σχεσιακή (relational) ερμηνεία  (Rovelli 1994, που υποστηρίζει ότι η ερμηνεία εξαρτάται από τον παρατηρητή κατ’ αναλογία με την σχετική φύση της ταυτοχρονίας στην ειδική θεωρία σχετικότητας) κλπ.

Οι περισσότεροι φυσικοί δέχονται τις ερμηνείες της Κοπεγχάγης / συνεπών ιστοριών, του αθροίσματος των ιστοριών και των πολλών κόσμων (αν και σύμφωνα με τον Penrose αυτή η τελευταία εγείρει μάλλον περισσότερα ερωτήματα από αυτά που απαντά). Ερευνητικά η πιο ενδιαφέρουσα αυτή τη στιγμή είναι πιθανότατα η ερμηνεία του Penrose. Μάλιστα πριν λίγα χρόνια (2005) ο Penrose πρότεινε ένα πείραμα, επονομαζόμενο FELIX (Free orbit Experiment with Large Interferometer X-ray), που θα μπορούσε να ελέγξει τον ισχυρισμό του. Μια εκδοχή του πειράματος αυτού είναι πιθανό να πραγματοποιηθεί στο προσεχές μέλλον.  Η αλήθεια είναι πως σίγουρα έχουμε πολλά ακόμη να μάθουμε για αυτή τη μυστηριώδη θεωρία του μικρόκοσμου που δουλεύει τόσο καλά πρακτικά αλλά προκαλεί την διαίσθησή μας. Οι διάφορες ερμηνείες της κβαντομηχανικής  αποτελούν ένα πολύ ενδιαφέρον και ενεργό τόπο συνάντησης της φιλοσοφίας και των θετικών επιστημών (φυσική).

Ενδεικτική Βιβλιογραφία (επιλέγουμε βιβλιογραφία προσιτή σε ένα ευρύτερο κοινό αποφεύγοντας τον «βαρύ» μαθηματικό φορμαλισμό):

Albert, D.:  «Quantum Mechanics and Experience», Harvard Univ. Press (1992).

Bell, J.: “Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics”, Cambridge Univ. Press, (2004) (περιλαμβάνει εισαγωγή και 2 άρθρα του Alain Aspect).

D’Espagnat, B.: “On Physics and Philosophy”, Princeton Univ. Press (2006).

Deutsch, D.: “The Fabric of Reality”, London: Allen Lane (1997).

Deutsch, D.: “Quantum theory as a universal physical theory”, International Journal of Theoretical Physics, Vol 24 #1 (1985).

Deutsch, D.: “Three connections between Everett's interpretation and experiment Quantum Concepts of Space and Time, Oxford University Press (1986).

Dick J., Bierman and Stephen Whitmarsh: “Consciousness and Quantum Physics: Empirical Research on the Subjective Reduction of the State Vector”, in Jack A. Tuszynski (Ed). The Emerging Physics of Consciousness. p. 27-48 (2006).

Einstein, A.,  Podolsky, B., and Rosen, N.: "Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?" Phys. Rev. 47: 777 (1935).


Jaeger, G.: “Entanglement, Information, and the Interpretation of Quantum Mechanics” Springer (2009).

Nelson,E.: “Derivation of the Schrödinger Equation from Newtonian Mechanics”, Phys. Rev. 150, 1079-1085 (1966).

Nunn, C.M.C. et. al. : “Collapse of a Quantum Field may Affect Brain Function”, Journal of Consciousness Studies 1(1):127-139 (1994).

Omnes, R.: «The Interpretation of Quantum Mechanics», Princeton Univ. Press (1994).

Omnes, R.: “Understanding Quantum Mechanics. Princeton Univ. Press (1999).

Omnes, R.: “Quantum Philosophy: Understanding and Interpreting Contemporary Science. Princeton Univ. Press (1999).

van Fraassen, B.: "A formal approach to the philosophy of science," in R. Colodny, ed., Paradigms and Paradoxes: The Philosophical Challenge of the Quantum Domain. Univ. of Pittsburgh Press: 303-66 (1972).

von Neumann, J.: “Mathematical Foundations of Quantum Mechanics”,  Princeton University Press (1932/1955).

Penrose, R.: “The Emperor's New Mind”, Oxford Univ. Press (1989).

Penrose, R.:  “Shadows of the Mind”,  Oxford Univ. Press (1994).

Penrose, R.:  “The Road to Reality” New York (2004).

Popper, K.:  “Conjectures and Refutations”, London: Routledge and Kegan Paul (1963).

* Μαθηματικός Φυσικός (M.Sc Cantab, D.Phil Oxon)